Class 10 Maths Chapter – 10 Circle Exercise 10.2 Questions and Answers New Syllabus Updated NCERT Solutions
प्रश्न 1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। विकल्प:
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
उत्तर: (A) 7 cm
हल: ∠OQR = 90° (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)।
प्रश्न 2. चित्र 10.11 में यदि TP तथा TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है: विकल्प:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
उत्तर: (B) 70°
हल: ∠PTQ = 180° − ∠POQ = 180° − 110° = 70° (क्योंकि चतुर्भुज OPTQ में ∠OPT = ∠OQT = 90° होते हैं, इसलिए ∠PTQ + ∠POQ = 180°।)
प्रश्न 3. यदि बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA तथा PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है: विकल्प:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
उत्तर: (A) 50°
हल: ∠APB = 80°, अतः ∠AOB = 180° − 80° = 100°। OP दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का अर्धक है (अर्थात ∠APO = 40°)।
त्रिभुज OAP में: ∠POA = 180° − 90° − 40° = 50°।
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
उत्तर: मान लीजिए AB वृत्त का व्यास है, जिसके सिरों A और B पर स्पर्श रेखाएँ l₁ और l₂ खींची गई हैं। केंद्र O है।
- व्यास AB केंद्र से होकर जाता है, अतः O, A और B संरेख बिंदु हैं।
- स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, अतः l₁ ⊥ AB तथा l₂ ⊥ AB।
- अतः ∠l₁AB = ∠l₂BA = 90°, और ये सम्मुख अंतःकोण (alternate interior angles) बराबर हैं।
इसलिए l₁ ∥ l₂। (अतः सिद्ध हुआ।)
दिया है: AB वृत्त का व्यास है; सिरों A, B पर स्पर्श रेखाएँ l₁ और l₂ खींची गई हैं।
ज्ञात करना है: l₁ ∥ l₂
रचना: व्यास केंद्र O से गुजरता है, अतः O, A, B संरेख हैं। स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या ⇒ ∠l₁AB = ∠l₂BA = 90°। ये रेखा AB से बने सम्मुख अंतःकोण बराबर हैं, इसलिए l₁ ∥ l₂। (इति सिद्धम्)
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
उत्तर: मान लीजिए XY वृत्त की स्पर्श रेखा है जो बिंदु P पर स्पर्श करती है। मान लीजिए O को छोड़कर लंब OP′ है जो XY को Q पर मिलता है।
- चूँदि Q स्पर्श रेखा XY पर स्थित है और XY वृत्त को केवल P पर मिलती है, अतः Q वृत्त के अंदर नहीं हो सकता; इसलिए OP′Q में OQ > OP (वृत्त के अंदर के बिंदु की दूरी त्रिज्या से कम होती है)।
- अर्थात स्पर्श बिंदु से खींचा गया लंब (OP) ही केंद्र से न्यूनतम दूरी वाली रेखा है, जो तभी संभव है जब लंब केंद्र O से ही होकर जाए।
अतः स्पर्श बिंदु से खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से गुजरता है।
प्रश्न 6. एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: केंद्र O लें। स्पर्श बिंदु T पर
OT⊥AT
(प्रमेय 10.1)। समकोण त्रिभुज OTA में, पाइथागोरस प्रमेय से:
वृत्त की त्रिज्या = 3 cm
प्रश्न 7: दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
उत्तर: रचना:
- समान केंद्र O वाले दो वृत्त C₁ (त्रिज्या 5 cm) और C₂ (त्रिज्या 3 cm) खींचिए।
- बड़े वृत्त की जीवा AB खींचिए जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करे।
- OP मिलाइए।
हल: AB, छोटे वृत्त की P पर स्पर्श रेखा है और OP त्रिज्या है ⇒ OP⊥AB (प्रमेय 10.1)। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है ⇒ AP=PB।
समकोण ΔOPA में: 
प्रश्न 8. एक वृत्त के चतुर्दिक एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए: AB+CD=AD+BC
उत्तर: रचना-
- वृत्त के चतुर्दिक चतुर्भुज ABCD खींचिए।
- स्पर्श बिंदु क्रमशः P (AB पर), Q (BC पर), R (CD पर), S (DA पर) अंकित कीजिए।
सिद्ध करना: प्रमेय 10.2 से एक ही बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं:
- A से: AP=AS
- B से: BP=BQ
- C से: CR=CQ
- D से: DR=DS
चारों को जोड़ने पर: 
प्रश्न 9. चित्र 10.13 में XY और X′Y′, केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB=90°।
उत्तर: रचना:
- XY और X′Y′ समांतर स्पर्श रेखाएँ खींचिए (स्पर्श बिंदु मान लीजिए P और Q)।
- तीसरी स्पर्श रेखा AB खींचिए जो XY को A और X′Y′ को B पर काटे तथा वृत्त को C पर स्पर्श करे।
- O को A, B और C से मिलाइए।
सिद्ध करना: A से दोनों स्पर्श रेखाओं AP और AC की लंबाइयाँ बराबर हैं (प्रमेय 10.2), और OA, स्पर्श बिंदुओं P, C को मिलाने वाले कोण का समद्विभाजक है (जैसे OP, कोण QPR को समद्विभाजित करता है — अध्याय का स्थापित गुण)। इसी प्रकार OB, B पर बने कोण का समद्विभाजक है।
XY ∥ X′Y′ और AB इन्हें काटती है, अतः अंतःकोणों का योग: ∠PAC+∠QBC=180°
दोनों ओर आधा लेने पर: ∠OAC+∠OBC=90°
ΔAOB में: ∠AOB=180°−90°= 90°
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का पूरक होता है।
उत्तर: रचना:
- केंद्र O वाला वृत्त और बाह्य बिंदु P लीजिए।
- स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींचिए (स्पर्श बिंदु Q, R)।
- OQ, OR और OP मिलाइए।
सिद्ध करना प्रमेय 10.1 से: ∠OQP=∠ORP=90°
चतुर्भुज OQPR में कोणों का योग 360° होता है: ∠QOR+90°+90°+∠QPR=360°
∠QOR+∠QPR=180°
अतः दोनों कोण पूरक हैं।
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के चतुर्दिक समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
उत्तर: रचना:
- वृत्त के चतुर्दिक समांतर चतुर्भुज ABCD खींचिए।
- वृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करे।
सिद्ध करना: ABCD समांतर चतुर्भुज है, अतः AB=CD और AD=BC:AP+PB=CR+RD(1)
AS+SD=BQ+QC(2)
प्रमेय 10.2 से: AP=AS,BP=BQ,CR=CQ,DR=DS।
(2) को (1) से घटाने पर:
PB−DR=DR−PB ⟹ PB=DR
इसका उपयोग करने पर सभी खंड बराबर निकलते हैं: AP=PB=BQ=QC=CR=RD=DS=SA
अतः AB=AP+PB=AD=AS+SD, अर्थात् समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 12. 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के चतुर्दिक एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभक्त है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
उत्तर: रचना-
- त्रिज्या 4 cm का वृत्त खींचिए (केंद्र O)।
- इसके चतुर्दिक त्रिभुज ABC खींचिए जिसमें भुजा BC पर स्पर्श बिंदु D हो,
- BD=8cm,
- DC=6cm।
- शेष स्पर्श बिंदु F (AB पर) और E (AC पर) अंकित कीजिए।
प्रमेय 10.2 से:
- B से: BF=BD=8cm
- C से: CE=CD=6cm
- A से: AF=AE=x (मान लीजिए)
इसलिए: AB=x+8, AC=x+6, BC=14 cm
अर्धपरिमाप:-
वृत्त के अंतर्लिखित होने से त्रिभुज का क्षेत्रफल Δ=r×s=4(x+14)।
हीरोन सूत्र से:
दोनों को समान करने पर:
AB=15 cm,AC=13 cm
प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के चतुर्दिक बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
उत्तर: रचना:
- केंद्र O वाला वृत्त और उसके चतुर्दिक चतुर्भुज ABCD खींचिए।
- वृत्त भुजाओं को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करे।
- OA, OB, OC, OD मिलाइए।
सिद्ध करना: भुजा AB और केंद्र O पर विचार कीजिए। स्पर्श बिंदु P पर ∠OPA=∠OPB=90°(प्रमेय 10.1)। चतुर्भुज AOBP में: ∠AOB+90°+90°+∠APB=360° ∠AOB=180°−∠APB
A पर वृत्त की दोनों स्पर्श रेखाओं AP और AS के बीच का कोण ही चतुर्भुज का अंतःकोण ∠A है, अर्थात्:
∠AOB=180°−∠A
इसी प्रकार (स्पर्श बिंदु R के क्षेत्र में): ∠COD=180°−∠C
जोड़ने पर: ∠AOB+∠COD=360°−(∠A+∠C)
चूँकि ABCD चतुर्दिक चतुर्भुज है, ∠A+∠C=180°, अतः : ∠AOB+∠COD=180°
इसी प्रकार ∠BOC+∠DOA=180°। अतः आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
