नोट: जहाँ तक अन्यथा न कहा गया है,उपयोग किया गया है।
उपयोगी सूत्र:
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
- त्रिज्यखंड की संगत चाप की लंबाई
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
प्रश्नावली 11.1
प्रश्न 1: 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल:
प्रश्न 2: एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
हल: परिधि :
चतुर्थांश का कोण =90°,
अतः
प्रश्न 3: एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में जाँच (पार करे हुए) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: 5 मिनट में सुई 60° का कोण बनाती है (क्योंकि 60 मिनट में 360°)।
प्रश्न 4: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल: (i) लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल= त्रिज्यखंड− त्रिभुज OAB
(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr ² लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
प्रश्न 5: त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए: (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा किए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा किए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल: (i) चाप की लंबाई:
(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल :
(iii) कोण 60° होने से △OAB समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा 21 cm है:
वृत्तखंड का क्षेत्रफल :
प्रश्न 6: 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3= 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल :
लघु वृत्तखंड =117.75−97.31=20.44 cm² (लगभग)
दीर्घ वृत्तखंड = πr²−20.44=706.5−20.44=686.06 cm² (लगभग)
प्रश्न 7: त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3= 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल:
वृत्तखंड का क्षेत्रफल =150.72−62.28=88.44 cm² (लगभग)
प्रश्न 8: 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए:
(i) मैदान के उस हिस्से का क्षेत्रफल जिसमें घोड़ा घास चर सकता है।
हल: (i) घोड़ा कोने पर चतुर्थांश (कोण 90°) बनाता है: क्षेत्रफल=
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल: (ii) 10 m रस्सी के साथ:
प्रश्न 9: एक वृत्ताकार ब्रोच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति 11-9 में दिखाया गया है। तो ज्ञात कीजिए:
(i) कुल आवश्यक चाँदी के तार की लंबाई
हल: (i) त्रिज्या
5 व्यासों की लंबाई :
कुल तार=110+175=285 mm
(ii) ब्रोच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
हल: (ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल :
प्रश्न 10: एक छतरी में आठ तानें हैं, जो बराबर दूरी पर लगी हुई हैं। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागर (लगातार) तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: दो क्रमागर तानों के बीच का कोण:
प्रश्न 11: प्किसी कार के दो वाइपर (wipers) परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घुमा कर सफ़ाई कर सकती है। पिट्टियों के प्रत्येक झुकाव के साथ जितना क्षेत्रफल साफ़ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल: प्रत्येक वाइपर द्वारा साफ़ होने वाला क्षेत्र θ=115° और r =25 cm वाला त्रिज्यखंड है।
उत्तर: प्रत्येक झुकाव में लगभग 627.5 cm² क्षेत्रफल साफ़ होता है।
प्रश्न: 12. जहाज़ों को समुद्र में तलहटी (underwater) स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π=3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल: यहाँ θ=80° तथा r =16.5 km।
उत्तर: समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल लगभग 190 km² है, जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सकती है।
प्रश्न: 13. एक गोल मेज़पोश पर छः डिज़ाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति 11.11 में दिखाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 =1.7 का प्रयोग कीजिए।)
प्रश्न: 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए:
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है:
